При­мер­ная про­грам­ма меж­дис­ци­п­ли­нар­но­го го­су­дар­ст­вен­но­го эк­за­ме­на
по спе­ци­аль­но­сти 075200  (без учё­та про­грамм спе­циа­ли­за­ций)
Тре­бо­ва­ния к про­грам­ме ком­плекс­но­го эк­за­ме­на:
1. В про­грам­ме долж­ны быть пред­став­ле­ны раз­де­лы по двум на­прав­ле­ни­ям:
ма­те­ма­ти­ка (ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз, ал­геб­ра, тео­рия ве­ро­ят­но­стей и ма­те­ма­ти­че­ская ста­ти­сти­ка, тео­рия функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния, дис­крет­ная ма­те­ма­ти­ка, струк­ту­ры дан­ных, ма­те­ма­ти­че­ская ло­ги­ка и тео­рия ал­го­рит­мов);
за­щи­та ин­фор­ма­ции (тео­рия ин­фор­ма­ции и ко­ди­ро­ва­ния; крип­то­гра­фи­че­ские ме­то­ды за­щи­ты ин­фор­ма­ции, тео­ре­ти­че­ские ос­но­вы за­щи­ты ин­фор­ма­ции, пра­во­вое обес­пе­че­ние ин­фор­ма­ци­он­ной безо­пас­но­сти и др.).
2. Об­щее ко­ли­че­ст­во во­про­сов про­грам­мы – не бо­лее 60.
3. Ка­ж­дый би­лет со­дер­жит 2 во­про­са.
4. В ка­че­ст­ве во­про­сов долж­ны фор­му­ли­ро­вать­ся ос­нов­ные тео­ре­ти­че­ские по­ло­же­ния, пред­по­ла­гаю­щие их раз­вер­ну­тое обос­но­ва­ние при от­ве­те.
5. Фор­му­ли­ров­ка ка­ж­до­го во­про­са долж­на чет­ко оп­ре­де­лять рам­ки и объ­ем со­дер­жа­ния от­ве­та.
6. В при­ло­же­нии по ка­ж­до­му во­про­су (или груп­пе во­про­сов) дол­жен быть ука­зан ре­ко­мен­дуе­мый ис­точ­ник, дос­туп­ный для ис­поль­зо­ва­ния в про­цес­се под­го­тов­ки к эк­за­ме­ну.
7. Во­про­сы для про­вер­ки про­грам­мы спе­циа­ли­за­ции ву­зом раз­ра­ба­ты­ва­ют­ся са­мо­стоя­тель­но.
Ни­же при­ве­де­ны при­ме­ры фор­му­ли­ро­вок во­про­сов про­грам­мы эк­за­ме­на по раз­де­лам.
Раз­дел  1.  МА­ТЕ­МА­ТИ­ЧЕ­СКИЙ АНА­ЛИЗ
  1. Не­пре­рыв­ность  дей­ст­ви­тель­ных  функ­ций  од­но­го  и  мно­гих дей­ст­ви­тель­ных пе­ре­мен­ных. Свой­ст­ва не­пре­рыв­ных функ­ций.
  2. Диф­фе­рен­ци­руе­мость функ­ций од­но­го и мно­гих дей­ст­ви­тель­ных пе­ре­мен­ных в точ­ке и на мно­же­ст­ве.  Дос­та­точ­ные ус­ло­вия диф­фе­рен­ци­руе­мо­сти. Про­из­вод­ные и диф­фе­рен­циа­лы выс­ших  по­ряд­ков.
  3. Тео­ре­мы о сред­нем для дей­ст­ви­тель­ных функ­ций од­но­го дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го (Рол­ля, Ла­гран­жа, Ко­ши) и их при­ме­не­ние.
  4. Фор­му­ла Тей­ло­ра для дей­ст­ви­тель­ных функ­ций од­но­го и  мно­гих дей­ст­ви­тель­ных пе­ре­мен­ных и ее при­ме­не­ние. Экс­тре­мум дей­ст­ви­тель­ной функ­ции од­но­го и мно­гих дей­ст­ви­тель­ных пе­ре­мен­ных   дос­та­точ­ные ус­ло­вия его су­ще­ст­во­ва­ния.
  5. Чи­сло­вой ряд.  Схо­дя­щие­ся ря­ды и их про­стей­шие  свой­ст­ва. При­зна­ки  схо­ди­мо­сти  ря­дов  с  по­ло­жи­тель­ны­ми  чле­на­ми (при­зна­ки срав­не­ния,  Да­лам­бе­ра,  Ко­ши). Аб­со­лют­но и не аб­со­лют­но схо­дя­щие­ся ря­ды.  При­знак Лейб­ни­ца. Пе­ре­мес­ти­тель­ное свой­ст­во аб­со­лют­но схо­дя­щих­ся ря­дов.
  6. Функ­цио­наль­ные ря­ды. Рав­но­мер­но схо­дя­щие­ся ря­ды. Кри­те­рий Ко­ши рав­но­мер­ной схо­ди­мо­сти ря­да.  Не­пре­рыв­ность сум­мы рав­но­мер­но схо­дя­ще­го­ся ря­да не­пре­рыв­ных функ­ций.  Тео­ре­ма о по­член­ном диф­фе­рен­ци­ро­ва­нии ря­да.
  7. Сте­пен­ные  ря­ды.  Пер­вая тео­ре­ма Абе­ля.  Об­ласть и ра­ди­ус схо­ди­мо­сти сте­пен­но­го ря­да. Рав­но­мер­ная схо­ди­мость сте­пен­но­го ря­да.  Не­пре­рыв­ность сум­мы, по­член­ная диф­фе­рен­ци­руе­мость.  Ряд Тей­ло­ра для функ­ции од­но­го дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го и ус­ло­вие раз­ло­жи­мо­сти функ­ции в ряд Тей­ло­ра.
  8. Эле­мен­тар­ная тео­рия ин­те­гра­ла.  Пер­во­об­раз­ная и не­оп­ре­де­лен­ный  ин­те­грал.  Су­ще­ст­во­ва­ние  пер­во­об­раз­ной  для  не­пре­рыв­ной функ­ции.  Оп­ре­де­лен­ный ин­те­грал и его  свой­ст­ва.  Фор­му­ла  Нью­то­на-Лейб­ни­ца. Ин­те­гра­лы Ри­ма­на-Стил­ть­е­са.
  9. Ря­ды Фу­рье и их схо­ди­мость. Не­ра­вен­ст­во Бес­се­ля и ра­вен­ст­во Пар­се­ва­ля. Свой­ст­во ря­дов Фу­рье. Ин­те­грал и пре­об­ра­зо­ва­ния Фу­рье.
Раз­дел 2. ТЕО­РИЯ ФУНК­ЦИЙ КОМ­ПЛЕКС­НО­ГО ПЕ­РЕ­МЕН­НО­ГО
  1. Пре­дел  и не­пре­рыв­ность ком­плекс­но­знач­ной функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го. Диф­фе­рен­ци­руе­мость функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го. Ус­ло­вия Ко­ши-Ри­ма­на.
  2. Ря­ды ком­плекс­но­знач­ных функ­ций ком­плекс­но­го  пе­ре­мен­но­го.  Рав­но­мер­но  схо­дя­щие­ся ря­ды.  При­знак рав­но­мер­ной схо­ди­мо­сти Вей­ер­шт­рас­са. Сте­пен­ные ря­ды. Пер­вая тео­ре­ма Абе­ля. Ра­ди­ус схо­ди­мо­сти. Рав­но­мер­ная схо­ди­мость ря­да. Не­пре­рыв­ность сум­мы ря­да. Ряд Ло­ра­на и его об­ласть схо­ди­мо­сти.
  3. Ин­те­грал  от  функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го.  Тео­ре­ма Ко­ши.  Ин­те­граль­ная фор­му­ла Ко­ши.  Тео­ре­ма о су­ще­ст­во­ва­нии про­из­вод­ных лю­бо­го по­ряд­ка. Ин­те­грал ти­па Ко­ши.
  4. Раз­ло­же­ние функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го в ря­ды Ло­ра­на и Тей­ло­ра. Тео­ре­ма един­ст­вен­но­сти. Клас­си­фи­ка­ция изо­ли­ро­ван­ных осо­бых то­чек функ­ций и по­ве­де­ние функ­ции  в  ок­ре­ст­но­стях  осо­бой точ­ки.
  5. Вы­че­ты. Ос­нов­ная тео­ре­ма о вы­че­тах.
Раз­дел 3. ДИФ­ФЕ­РЕН­ЦИ­АЛЬ­НЫЕ УРАВ­НЕ­НИЯ
  1. Ос­нов­ные ти­пы диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний 1-го по­ряд­ка и ме­то­ды их ре­ше­ния.
  2. Тео­ре­ма су­ще­ст­во­ва­ния и един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния урав­не­ния пер­во­го по­ряд­ка.
  3. Ли­ней­ные урав­не­ния n-го по­ряд­ка. Струк­ту­ра его об­ще­го ре­ше­ния.
  4. Ли­ней­ные урав­не­ния n-го по­ряд­ка с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми.
  5. Сис­те­мы ли­ней­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми.
  6. Струк­ту­ра об­ще­го ре­ше­ния ли­ней­ной сис­те­мы урав­не­ний.
Раз­дел 4. ТЕО­РИЯ ВЕ­РО­ЯТ­НО­СТЕЙ И МА­ТЕ­МА­ТИ­ЧЕ­СКАЯ СТА­ТИ­СТИ­КА
  1. Ве­ро­ят­но­ст­ное про­стран­ст­во. Ак­сио­мы тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Свой­ст­ва ве­ро­ят­но­ст­ной ме­ры.
  2. Дис­крет­ное ве­ро­ят­но­ст­ное про­стран­ст­во.  Клас­си­че­ское оп­ре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей.
  3. Слу­чай­ные  ве­ли­чи­ны .  функ­ции рас­пре­де­ле­ния и их свой­ст­ва. Аб­со­лют­но не­пре­рыв­ные, дис­крет­ные рас­пре­де­ле­ния. Ти­по­вые рас­пре­де­ле­ния:  би­но­ми­аль­ное,  рав­но­мер­ное, гео­мет­ри­че­ское, пу­ас­со­нов­ское,  нор­маль­ное, по­ка­за­тель­ное, рас­пре­де­ле­ние Стью­ден­та,