Примерная программа междисциплинарного государственного экзамена 
по специальности 075200  (без учёта программ специализаций)
Требования к программе комплексного экзамена:
1. В программе должны быть представлены разделы по двум направлениям:
математика (математический анализ, алгебра, теория вероятностей и математическая статистика, теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения, дискретная математика, структуры данных, математическая логика и теория алгоритмов);
защита информации (теория информации и кодирования; криптографические методы защиты информации, теоретические основы защиты информации, правовое обеспечение информационной безопасности и др.).
2. Общее количество вопросов программы – не более 60.
3. Каждый билет содержит 2 вопроса.
4. В качестве вопросов должны формулироваться основные теоретические положения, предполагающие их развернутое обоснование при ответе.
5. Формулировка каждого вопроса должна четко определять рамки и объем содержания ответа.
6. В приложении по каждому вопросу (или группе вопросов) должен быть указан рекомендуемый источник, доступный для использования в процессе подготовки к экзамену.
7. Вопросы для проверки программы специализации вузом разрабатываются самостоятельно.
Ниже приведены примеры формулировок вопросов программы экзамена по разделам.
Раздел  1.  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.	Непрерывность  действительных  функций  одного  и  многих действительных переменных. Свойства непрерывных функций.
2.	Дифференцируемость функций одного и многих действительных переменных в точке и на множестве.  Достаточные условия дифференцируемости. Производные и дифференциалы высших  порядков.
3.	Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного (Ролля, Лагранжа, Коши) и их применение.
4.	Формула Тейлора для действительных функций одного и  многих действительных переменных и ее применение. Экстремум действительной функции одного и многих действительных переменных   достаточные условия его существования.
5.	Числовой ряд.  Сходящиеся ряды и их простейшие  свойства. Признаки  сходимости  рядов  с  положительными  членами (признаки сравнения,  Даламбера,  Коши). Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды.  Признак Лейбница. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.
6.	Функциональные ряды. Равномерно сходящиеся ряды. Критерий Коши равномерной сходимости ряда.  Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.  Теорема о почленном дифференцировании ряда.
7.	Степенные  ряды.  Первая теорема Абеля.  Область и радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда.  Непрерывность суммы, почленная дифференцируемость.  Ряд Тейлора для функции одного действительного переменного и условие разложимости функции в ряд Тейлора.
8.	Элементарная теория интеграла.  Первообразная и неопределенный  интеграл.  Существование  первообразной  для  непрерывной функции.  Определенный интеграл и его  свойства.  Формула  Ньютона-Лейбница. Интегралы Римана-Стилтьеса.
9.	Ряды Фурье и их сходимость. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Свойство рядов Фурье. Интеграл и преобразования Фурье.
Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
10.	Предел  и непрерывность комплекснозначной функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
11.	Ряды комплекснозначных функций комплексного  переменного.  Равномерно  сходящиеся ряды.  Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Равномерная сходимость ряда. Непрерывность суммы ряда. Ряд Лорана и его область сходимости.
12.	Интеграл  от  функции комплексного переменного.  Теорема Коши.  Интегральная формула Коши.  Теорема о существовании производных любого порядка. Интеграл типа Коши.
13.	Разложение функции комплексного переменного в ряды Лорана и Тейлора. Теорема единственности. Классификация изолированных особых точек функций и поведение функции  в  окрестностях  особой точки.
14.	Вычеты. Основная теорема о вычетах.
Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
15.	Основные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и методы их решения.
16.	 Теорема существования и единственности решения уравнения первого порядка.
17.	Линейные уравнения n-го порядка. Структура его общего решения.
18.	Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
19.	Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
20.	Структура общего решения линейной системы уравнений.
Раздел 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
21.	Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятностной меры.
22.	Дискретное вероятностное пространство.  Классическое определение вероятностей.
23.	Случайные  величины .  функции распределения и их свойства. Абсолютно непрерывные, дискретные распределения. Типовые распределения:  биномиальное,  равномерное, геометрическое, пуассоновское,  нормальное, показательное, распределение Стьюдента,  -распределение, г-распределение, распределение Коши. Схема Бернулли. Полиномиальная схема.
24.	Условные  вероятности.  Независимость  событий.  Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Независимые случайные величины. Формула свертки.
25.	Математическое ожидание случайной величины и его  свойства. Примеры. Математическое ожидание функции случайной величины. Дисперсия случайной величины и ее свойства.  Вычисление математических ожиданий и дисперсий для типовых распределений.  Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Неравенство Чебышева. Коэффициент корреляции и его свойства.
26.	Определение и свойства характеристической  функции.  Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Вычисление характеристических функций  для  типовых  распределений. Связь  дифференцируемости  характеристической  функции с наличием моментов распределений. Формула обращения и теорема единственности. Теорема непрерывности для характеристических функций. Примеры и приложения.
27.	Виды сходимости последовательности случайных величин. Закон больших чисел.  Теорема Чебышева.  Теорема  Хинчина.  Теорема Линдеберга  (без доказательства).  Теорема Ляпунова как следствие теоремы Линдеберга. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
28.	Теорема Пуассона. Примеры, контрпримеры и схемы применения предельных теорем.  Решетчатые случайные величины.  локальная предельная теорема (без доказательства). Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
29.	Дискретные цепи Маркова  с  конечным  числом  состояний. Примеры цепей Маркова.  Классификация состояний цепи Маркова. Периоды классов эргодических состояний.  Теорема о предельных вероятностях  для неразложимой ациклической цепи.  Нахождение вектора предельных вероятностей путем решения системы линейных уравнений.
30.	Определение случайного процесса.  Примеры. Семейство конечномерных распределений.  Условия согласованности. Теорема Колмогорова  о  согласованных  распределениях  (без доказательства). Классификация случайных процессов.  Пуассоновский случайный  процесс. Винеровский процесс. Стационарные процессы. Свойства корреляционной функции.
31.	Марковские  процессы  с  непрерывным временем и конечным множеством состояний.  Прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова. Стационарные распределения.
32.	Основные понятия математической статистики:  понятия выборки,  вариационного  ряда,  эмпирической функции распределения, выборочных моментов. Примеры использования этих понятий в практических задачах. Теорема Фишера. Несмещенные оценки, состоятельные оценки.  Неравенство Рао-Крамера. Условия обращения его в равенство. Эффективные оценки.
33.	Основные методы статистического оценивания. Метод моментов.  Метод максимального правдоподобия. Применение к случаю нормального и биномиального распределения.
34.	Проверка статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы.  Статистические критерии. Ошибки 1-го II-го родов. Функция мощности.  Наиболее мощный и равномерно наиболее мощный критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Примеры применения леммы к случаю нормального, биномиального и полиномиального распределений.
35.	Критерий согласия.  Теорема Пирсона о предельном распределении статистики. Критерий Стьюдента. Примеры.
Раздел 5. АЛГЕБРА
36.	Матрицы  и операции над ними.  Определители матриц и их свойства.  Теорема Лапласа. Определитель произведения матриц.  Критерий обратимости матриц.
37.	Ранг  матрицы  над полем,  способы его вычисления.  Ранг произведения матриц. Обратная матрица и способы ее вычисления.
38.	Системы линейных уравнений над полем.  Критерий Кронекера-Капелли.  Алгоритм Гаусса. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение системы линейных уравнений.
39.	Кольца  вычетов.  Малая теорема Ферма.  Сравнения первой степени. Китайская теорема об остатках.
40.	Кольцо многочленов над  кольцом  с  единицей.  Делимость многочленов с остатком.  Теорема Безу.
41.	Делимость многочленов над полем.  Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное многочленов. Взаимно простые многочлены и их свойства. Неприводимые многочлены и их свойства. Каноническое разложение многочлена и его однозначность.
42.	Группы и их основные свойства.  Смежные классы по  подгруппе,  теорема Лагранжа.  Циклические группы.  Конечные абелевы группы.
43.	Подстановки конечных множеств,  их четность.  Разложение подстановок  в  произведение  независимых  циклов.  Сопряженность подстановок в симметрической группе,  уравнения Коши. Системы образующих симметрической и знакопеременной групп. Теорема Кэли.
44.	Нормальные  делители  группы.  Факторгруппа,  теорема об эпиморфизме.
45.	Векторные  пространства  над полем,  их базисы и размерность. Координаты векторов в базисе и их изменение при переходе к другому  базису.  Свойства  конечномерных  векторных пространств. Подпространства векторного пространства,  операции над ними. Размерности суммы и пересечения подпространств.
46.	Линейное  преобразование  векторного  пространства,  его матрица в данном базисе, примеры. Критерии обратимости преобразования.
47.	Характеристический  многочлен  линейного преобразования. Собственные значения и собственные векторы преобразования,  инвариантные  подпространства.  
48.	Матрицы  над  кольцом многочленов над полем,  их эквивалентность.  Инвариантные делители и множители.  Критерий  эквивалентности. Критерий подобия матриц над полем.
49.	Евклидово (унитарное) пространство и его свойства.  Существование  ортонормированного базиса. Ортогональное дополнение подпространства.
50.	Квадратичная форма над полем, ее матрица и ранг. Эквивалентность квадратичных форм, канонический вид. Квадратичные формы над полями действительных и комплексных чисел. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
51.	Конечные поля, характеристика поля, число элементов, теорема о примитивном элементе.  Существование поля с заданным примарным числом элементов. Описание подполей.
52.	Неприводимые многочлены над конечными полями.  Существование неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Построение конечного поля с заданным числом элементов.
Раздел 6. МАТЕМАТИЧЕСКМАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
53.	Булевы функции. Представление булевых функций формулами алгебры высказываний и  многочленами  Жегалкина.
54.	Псевдобулевы функции и их представление рядами Фурье.
55.	Замкнутые классы функций. Критерии полноты для булевых функций.  
56.	Исчисления высказываний и предикатов, их полнота и непротиворечивость.
57.	Основные подходы к формализации понятия алгоритма: машины Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгоритмы Маркова.
58.	Понятие сложности алгоритма. Классы сложности. 
59.	Оценка сложности алгоритмов Гаусса (решения систем линейных уравнений), Штрассена (умножения матриц), Евклида (вычисление НОД).
60.	Дискретное преобразование Фурье и его связь  с  задачами вычисления значений и интерполяции многочленов. Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). 
Раздел 7. ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И КОДИРОВАНИЯ
61.	Энтропия и ее свойства. Количество информации.  Общая схема линии связи.
62.	Источник сообщения, его энтропия и избыточность.
63.	Поток информации и пропускная способность канала связи.
64.	Оптимальное кодирование. Корректирующие свойства кодов.
65.	Линейный код и способы его задания. Процесс декодирования линейного кода. БЧХ-коды. Код Хемминга.
Раздел 8. СТРУКТУРЫ ДАННЫХ И АЛГОРИТМЫ
66.	Алгоритмы на графах.  Обход графа в глубину, построение глубинного остовного леса и классификация ребер не вошедших в лес. Алгоритмы нахождения компонент связности, двусвязных компонент  неориентированных графах и сильно связных компонент ориентированных графов. Алгоритмы построения остовных деревьев минимвльной стоимости (алгоритм Крускала). Поиск в ширину и кратчайшие пути в графе. Алгоритм нахождения кратчайших расстояний от выделенной вершины до всех остальных вершин графа (алгоритм Дейкстры). Оценки сложности.
67.	Эйлеровы циклы и эйлеровы графы. Критерий существования эйлеровых путей и циклов в неориентированных и ориентированных графах.  Алгоритм Флери построения эйлерова цикла.  Гамильтоновы  циклы и гамильтоновы  эйлеровы графы. Теорема Поша (без доказательства), о достаточных условиях существования гамильтонова цикла. Цикломатическое число графа. Базис циклов графа. Связь между числом элементов любого базиса циклов графа и его цикломатическим числом. Алгоритм построения базиса циклов произвольного графа.
68.	Структуры данных для задач, касаюшихся работы с непересекающимися множествами. Операции с непересекающимися множествами (объединить и найти). Реализация множеств с помощью списков и деревьев. Оценки трудоемкости.
69.	Алгоритмы внутренней сортировки. Сортировки сравнениями: сортировка вставками в дерево, пирамидальная сортировка, быстрая сортировка. Лексикографическая сортировка как пример распределяющей сортировки. Оценки трудоемкости.
70.	Алгоритмы поиска в последовательно организованных файлах. Бинарный, фибоначчиев,  интерполяционный поиск. Поиск в файлах, упорядоченных по вероятности. Самоорганизующиеся файлы. Оценки трудоемкости.
71.	Алгоритмы поиска в деревьях. Деревья двоичного поиска, сбалансированные по высоте. Оценка максимальной и средней высоты сбалансированного дерева с n узлами. Алгоритм вставки и удаления элемента в дерево двоичного поиска, сбалансированное по высоте.
Раздел 9. ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ
72.	Основные понятия защиты информации (субъекты, объекты, доступ, граф доступов, информационные потоки). Постановка задачи построения защищенной автоматизированной системы (АС). Модели ценности информации. Аддитивная модель. Порядковая шкала. Модель решетки ценности. MLS решетка.
73.	Угрозы безопасности информации. Угрозы конфиденциальности, целостности, доступности, раскрытия параметров АС. Понятие политики безопасности. Дискреционная политика безопасности. Мандатная политика безопасности. Мандатная политика целостности.
74.	Модель системы безопасности HRU. Основные положения модели. Теорема об алгоритмической неразрешимости проблемы безопасности в произвольной системе.
75.	Модель распространения прав доступа Take-Grant. Теоремы о передаче прав в графе доступов, состоящем из субъектов, и произвольном графе доступов. Расширенная модель Take-Grant и ее применение для анализа информационных потоков в АС.
76.	Модель Белла-Лападулы как основа построения систем мандатного разграничения доступа. Основные положения модели. Базовая теорема безопасности (BST).
77.	Основные положения критериев TCSEC (“Оранжевая книга”). Фундаментальные требования компьютерной безопасности. Требования классов защиты.
78.	Основные положения Руководящих документов ГТК в области защиты информации. Определение и классификация НСД. Определение и классификация нарушителя. Классы защищенности АС от НСД к информации.
79.	Основные положения CCITSE (“Единые критерии”). Структура профиля и проекта защиты. Структура и ранжирование функциональных требований. Структура требований адекватности и уровни адекватности.
80.	Криптосистемы с открытым ключом. Понятие сертификата. Криптосистема RSA. Выбор параметров. 
81.	Криптографические хэш-функции. Стандарты ГОСТ Р 34.11 и SHA.
82.	Цифровая подпись. Схемы цифровой подписи. Стандарты ГОСТ Р 34.10 и DSS.
83.	Структура и состав системы нормативных правовых актов, регулирующих обеспечение информационной безопасности в РФ.
84.	Правовой режим защиты государственной тайны.
85.	Правовые основы защиты информации с использованием технических средств (защита от технических разведок, применение и разработка шифровальных средств, электронная цифровая подпись и т.д.); 
86.	Организация и обеспечение режима секретности.
87.	Лицензирование и сертификация в области защиты информации