Примерная программа междисциплинарного государственного экзамена
по специальности 075500
(без учёта программ специализаций)
Требования к программе комплексного экзамена:
1. В программе должны быть представлены разделы, сгруппированные по двум направлениям:
математика (математический анализ, алгебра, теория вероятностей и математическая статистика, структуры данных и алгоритмы);
защита информации (теория информации и кодирования; защита информации, безопасность операционных систем, баз данных и вычислительных сетей; организационное и правовое обеспечение информационной безопасности).
2. Общее количество вопросов программы – не более 60.
3. Каждый билет содержит 2 вопроса, один по направлению “математика”, второй по направлению “защита информации”.
4. В качестве вопросов должны формулироваться основные теоретические положения, предполагающие их развернутое обоснование при ответе.
5. Формулировка каждого вопроса должна четко определять рамки и объем содержания ответа.
6. В приложении по каждому вопросу (или группе вопросов) должен быть указан рекомендуемый источник, доступный для использования в процессе подготовки к экзамену.
7. Вопросы для проверки программы специализации вузом разрабатываются самостоятельно.
Ниже приведены примеры формулировок вопросов программы экзамена по разделам.
Раздел 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- Непрерывность действительных функций одного и многих действительных переменных. Свойства непрерывных функций.
- Дифференцируемость функций одного и многих действительных переменных в точке и на множестве. Достаточные условия дифференцируемости. Производные и дифференциалы высших порядков.
- Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного (Ролля, Лагранжа, Коши) и их применение.
- Формула Тейлора для действительных функций одного и многих действительных переменных и ее применение. Экстремум действительной функции одного и многих действительных переменных, достаточные условия его существования.
- Числовой ряд. Сходящиеся ряды и их простейшие свойства. Признаки сходимости рядов с положительными членами (признаки сравнения, Даламбера, Коши). Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды. Признак Лейбница. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.
- Функциональные ряды. Равномерно сходящиеся ряды. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
- Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Область и радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы, почленная дифференцируемость степенного ряда. Ряд Тейлора для функции одного действительного переменного и условие разложимости функции в ряд Тейлора.
- Первообразная и неопределенный интеграл. Интеграл Римана (определенный интеграл) и его свойства, классы интегрируемых функций. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Раздел 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
- Случайные величины, функции распределения, их свойства. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения. Типовые распределения: биномиальное, пуассоновское, нормальное. Схема Бернулли и полиномиальная схема: основные формулы.
- Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимые случайные величины.
- Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых распределений.
- Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
- Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
- Основные понятия математической статистики: случайная выборка из распределения, выборочное пространство, вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочные моменты. Точечные оценки неизвестных значений параметров распределений: несмещенные оценки, состоятельные оценки. Примеры.
- Задача проверки статистических гипотез. Основная и альтернативная, простая и сложная гипотезы. Статистические критерии. Ошибки 1-го и 2-го родов при проверке гипотез. Функция мощности критерия. Наиболее мощный и равномерно наиболее мощный критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Проверка простых гипотез о параметрах биномиального, полиномиального и нормального распределений.
- Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона (критерий c2). Теорема Пирсона о предельном распределении c2-статистики (без доказательства).
Раздел 3. АЛГЕБРА
- Матрицы над кольцом и операции над ними. Кольцо квадратных матриц. Определители матриц и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель произведения матриц. Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.
- Ранг матрицы над полем, способы его вычисления. Ранг произведения матриц. Обратная матрица и способы ее вычисления.
- Векторные пространства над полем. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Подпространства векторного пространства, операции над ними. Свойства конечномерных векторных пространств. Координаты векторов в базисе и их изменение при переходе к другому базису. Размерности суммы и пересечения подпространств.
- Системы линейных уравнений над полем. Алгоритм Гаусса. Критерий Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений. Общее решение системы линейных уравнений.
- Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов с остатком. Значение многочлена, его корень. Теорема Безу.
- Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) многочленов над полем. Свойства НОД и алгоритм его нахождения. Взаимно простые многочлены и их свойства. Неприводимые многочлены и их свойства. Каноническое разложение многочлена и его однозначность.
- Линейное преобразование конечномерного векторного пространства, его матрица в данном базисе, примеры. Критерии обратимости преобразования. Матрицы преобразования в разных базисах.
- Характеристический многочлен линейного преобразования. Собственные значения и собственные векторы преобразования, инвариантные подпространства. Критерий приводимости и разложимости матрицы преобразования.
- Евклидово (унитарное) пространство и его свойства. Ортогонализация системы векторов. Существование ортонормированного базиса. Ортогональное дополнение подпространства.
- Квадратичная форма над полем, ее матрица и ранг. Эквивалентность квадратичных форм, канонический вид. Квадратичные формы над полями действительных и комплексных чисел. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
- Кольца вычетов. Малая теорема Ферма. Сравнения первой степени. Китайская теорема об остатках.
Раздел 4. СТРУКТУРЫ ДАННЫХ И АЛГОРИТМЫ
- Алгоритмы на графах. Обход графа в глубину, построение глубинного остовного леса и классификация ребер не вошедших в лес. Алгоритмы нахождения связных компонент неориентированных графов и сильно связных компонент ориентированных графов. Алгоритмы построения остовных деревьев минимальной стоимости (алгоритм Крускала). Поиск в ширину и кратчайшие пути в графе. Алгоритм нахождения кратчайших расстояний от выделенной вершины до всех остальных вершин графа (алгоритм Дейкстры). Оценки сложности.
- Структуры данных для задач, касающихся работы с непересекающимися множествами. Операции с непересекающимися множествами (объединить и найти). Реализация множеств с помощью списков и деревьев. Оценки трудоемкости.
- Алгоритмы внутренней сортировки. Сортировки сравнениями: сортировка вставками в дерево, пирамидальная сортировка, быстрая сортировка. Лексикографическая сортировка как пример распределяющей сортировки. Оценки трудоемкости.
- Алгоритмы поиска в последовательно организованных файлах. Бинарный и интерполяционный поиск. Поиск в файлах, упорядоченных по вероятности. Самоорганизующиеся файлы. Оценки трудоемкости.
- Алгоритмы поиска в деревьях. Деревья двоичного поиска, сбалансированные по высоте. Алгоритм вставки и удаления элемента в дерево двоичного поиска, сбалансированное по высоте. Оценки трудоемкости.
Раздел 5. ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И КОДИРОВАНИЯ
- Понятие энтропии и ее свойства. Количество информации.
- Линейный код и способы его задания.
- Модель канала связи. Пропускная способность канала связи.
Раздел 6. ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ
- Основные понятия защиты информации (субъекты, объекты, доступ, граф доступов, информационные потоки). Постановка задачи построения защищенной автоматизированной системы (АС). Модели ценности информации. Аддитивная модель. Порядковая шкала. Модель решетки ценности. MLS решетка.
- Угрозы безопасности информации. Угрозы конфиденциальности, целостности, доступности, раскрытия параметров АС. Понятие политики безопасности. Дискреционная политика безопасности. Мандатная политика безопасности. Мандатная политика целостности.
- Модель системы безопасности HRU. Основные положения модели. Теорема об алгоритмической неразрешимости проблемы безопасности в произвольной системе.
- Модель распространения прав доступа Take-Grant. Теоремы о передаче прав в графе доступов, состоящем из субъектов, и произвольном графе доступов. Расширенная модель Take-Grant и ее применение для анализа информационных потоков в АС.
- Модель Белла-Лападулы как основа построения систем мандатного разграничения доступа. Основные положения модели. Базовая теорема безопасности (BST).
- Основные положения критериев TCSEC (“Оранжевая книга”). Фундаментальные требования компьютерной безопасности. Требования классов защиты.
- Основные положения Руководящих документов ГТК в области защиты информации. Определение и классификация НСД. Определение и классификация нарушителя. Классы защищенности АС от НСД к информации.
- Основные положения CCITSE (“Единые критерии”). Структура профиля и проекта защиты. Структура и ранжирование функциональных требований. Структура требований адекватности и уровни адекватности.
- Криптосистемы с открытым ключом. Понятие сертификата. Криптосистема RSA. Выбор параметров.
- Криптографические хэш-функции. Стандарты ГОСТ Р 34.11 и SHA.
- Цифровая подпись. Схемы цифровой подписи. Стандарты ГОСТ Р 34.10 и DSS.
Раздел 7. БЕЗОПАСНОСТЬ ОПЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ,
баз ДАННЫХ и ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ
- Постановка задачи распределенной обработки данных. Классификация сетей по способам распределения данных; сравнительная характеристика различных типов сетей; основы организации и функционирования сетей.
- Общая характеристика ОС; назначение и возможности систем семейств UNIX, Windows.
- Основные механизмы безопасности: средства и методы аутентификации в ОС, модели разграничения доступа, организация и использование средств аудита.
- Администрирование ОС: основные задачи и принципы сопровождения системного ПО, управления безопасностью ОС.
- Основные сетевые стандарты: средства взаимодействия процессов в сетях, распределенная обработка информации в системах клиент-сервер.
- Безопасность ресурсов сети: средства идентификации и аутентификации, методы разделения ресурсов и технологии разграничения доступа.
- Основные принципы построения ЛВС, особенности организации сетей на базе ОС NetWare, Windows, UNIX.
- Основные принципы обеспечения безопасности в Internet.
- Общая характеристика, назначение и возможности СУБД; языковые средства СУБД для различных моделей данных, описания данных, манипулирование данными.
- Средства обеспечения безопасности БД: средства идентификации и аутентификации объектов БД, языковые средства разграничения доступа, организация аудита в системах БД. Задачи и средства администратора безопасности БД.
- Технологии удаленного доступа к системам БД, тиражирование и синхронизация в распределенных системах БД.
Раздел 8. ОРГАНИЗАЦИОННОЕ и ПРАВОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
- Структура и состав системы нормативных правовых актов, регулирующих обеспечение информационной безопасности в РФ.
- Правовой режим защиты государственной тайны.
- Правовые основы защиты информации с использованием технических средств (за